Zróbmy sobie muzykę!

Z pewnością nie za każdym razem, kiedy słuchałem muzyki bądź cokolwiek śpiewałem, ale co jakiś czas zdarzało mi się, że zastanawiałem się, co to właściwie jest ta muzyka.

Według definicji wikipedyjnej muzyka to sztuka organizacji struktur dźwiękowych w czasie. Zatem muzyka jest wedle tej definicji po pierwsze sztuką — z czym się w zupełności zgadzam, ponieważ dla mnie osobiście, jako człowieka o wiele pewniej poruszającego się w świecie nauk ścisłych i technicznych, sztuka jawi się jako działalność wymagająca pewnego wysiłku twórczego i zmysłu estetycznego. Z tego powodu od niepamiętnych czasów uważałem muzykę za dziedzinę życia, która jest niejako poza moim zasięgiem, i nie wykazywałem większego nią zainteresowania (co się później — na szczęście — zmieniło). Owszem, muzyki słuchałem, i to na przestrzeni lat bardzo różnej, jednakże znajomość tego tematu była bardzo powierzchowna i ograniczona do pasywnego odbioru dla własnej przyjemności. Pomimo mojej minimalnej, elementarnej wiedzy o teorii muzyki, nie zadawałem sobie trudu, aby dowiedzieć się więcej. Cóż za szkoda! Jak się wkrótce okazało, muzyka w swej istocie jest tworem tak wybitnie matematycznym, jak chociażby rachunek prawdopodobieństwa czy analiza matematyczna. Gdybym na ten fakt — będąc programistą — zwrócił uwagę wcześniej, o ileż bardziej rozsmakowałbym się w jej pięknie — analizując jej wszelkie aspekty, rzecz jasna, w cierpliwy i metodyczny sposób matematyczny.

Powiedziawszy nieco na temat sztuki, czas teraz na analizę pozostałych wyrażeń użytych w definicji. Zacznę tym razem od końca, bo tak będzie łatwiej — muzyka jest umiejscowiona w czasie, a czym jest czas, każdy chyba wie. Dość powiedzieć, że struktury dźwiękowe następują po sobie w czasie, i jakiś czas trwają. Można by pokusić się na zamianę słowa czas na czasoprzestrzeń, ponieważ dźwięki istnieją w materialnym świecie, w którym my żyjemy, czyli we wspomnianej czasoprzestrzeni. Wymagają przestrzeni, ponieważ są drganiem materialnego ośrodka (nośnika). Jest nim zazwyczaj powietrze, ale nie jedynie — wystarczy puścić odpowiednio głośno muzykę w łazience, a głowę zanurzyć w pełnej wody wannie (nie zatykamy uszu!), by przekonać się, że woda nie stanowi bynajmniej przeszkody dla dźwięku.

W taki sposób muzykę wyobraża sobie sztuczna inteligencja

Wreszcie muzyka jest sztuką organizacji, co dobitnie świadczy o tym, że dźwięki składające się na muzykę nie są w żaden sposób przypadkowe, a zorganizowane. Intuicja podpowiada, że im wyższy poziom organizacji, tym przyjemniejszą w słuchaniu będzie muzyka.

Kiedy terminy zostały już zdefiniowane, pozwolę sobie przejść do meritum i, zgodnie z obietnicą daną przez tytuł tego postu, podejmę próbę stworzenia muzyki od podstaw.

Czym jest dźwięk?

Dźwięk jest zaburzeniem falowym rozchodzącym się w ośrodku, np. w powietrzu. Aby dźwięk był odbierany jako równy, częstotliwość drgań musi mieć niezmienną w czasie wartość, którą mierzymy w hercach (Hz). Ludzkie ucho u zdrowego człowieka słyszy dźwięki z zakresu 16 Hz — 20 kHz. Z biegiem czasu zakres ten zawęża się, zwłaszcza górna granica ulega przesunięciu ku niższym częstotliwościom, jednak nie powinna spaść poniżej 16 kHz. Ludzka mowa zawiera się w paśmie pomiędzy 2 kHz a 4 kHz.

Czym jest interwał?

Najprościej rzecz ujmując, interwałem nazywamy następujące po sobie dźwięki. Ich częstotliwości zwykle się różnią, niemniej jednak przyjmuje się, że dwa identyczne dźwięki również są interwałem, który zwie się prymą (unisonem).

Czy interwał stanowi następstwo dowolnych dźwięków (co do częstotliwości)? Teoretycznie tak, ale w muzyce nie wszystko jest dozwolone. Nie każdy interwał brzmi harmonijnie (czysto, przyjemnie). Wręcz przeciwnie, tylko nieliczne z nich nadają się na materiał dźwiękowy pięknego utworu. Interwały z grubsza dzielą się właśnie na konsonansowe i dysonansowe.

Interwały konsonansowe brzmią przyjemnie dla ucha, dysonansowe zaś są odbierane jako nieprzyjemne, jakby dobywające się z niepoprawnie nastrojonego instrumentu (ewentualnie zagrane przez początkującego skrzypka). Granica nie jest wyznaczona w sposób definitywny, ponieważ można wyróżnić konsonanse bardziej konsonansowe, lub mniej. Podobnie dysonanse. Mimo to, polegając na własnym słuchu, nietrudno ocenić, do której kategorii należą kolejno zagrane po sobie dźwięki.

Można by postawić pytanie, czy istnieje jakakolwiek obiektywna cecha fizyczna (kłania się podejście matematyczne), która pozostaje w prostym związku z opisywaną opozycją konsonans-dysonans? Okazuje się, że owszem. To iloraz częstotliwości kolejnych dźwięków. Interwały konsonansowe charakteryzują się tym, że iloraz częstotliwości jest stosunkiem dwóch niskich liczb całkowitych, np. (2 ÷ 1), (3 ÷ 2), (4 ÷ 3), itd.

Dla przykładu:

  • Pryma to następstwo identycznych dźwięków, czyli równych co do częstotliwości. Ich iloraz jest równy (1 ÷ 1) = 1.
  • Oktawą nazywamy następstwo dźwięków, których iloraz częstotliwości wynosi (2 ÷ 1) = 2 (o 100% więcej).
  • Kwinta brzmi wtedy, kiedy zagramy dźwięki o ilorazie częstotliwości równym (3 ÷ 2) = 1,5 (o 50% więcej).
  • Kwartą nazywamy następstwo dźwięków, których iloraz częstotliwości wynosi (4 ÷ 3) = 1,(3) (o 33,(3)% więcej).
  • Sekunda brzmi wtedy, kiedy zagramy dźwięki o ilorazie częstotliwości równym (9 ÷ 8) = 1,125 (o 12,5% więcej).

Dwa pierwsze interwały (pryma i oktawa) będą kluczowe w dalszych rozważaniach, ponieważ przy ich pomocy można podzielić ciągłą oś częstotliwości na powtarzające się zakresy, które brzmią podobnie. W szczególny sposób dźwięki stanowiące oktawę traktowane są jako mające identyczny charakter, będących odmianą tego samego dźwięku (mimo że, naturalnie, nie brzmią identycznie).

Z wyjątkiem prymy, dla wszystkich wymienionych interwałów iloraz częstotliwości q można wyliczyć według wzoru:

q = (n ÷ (n - 1))

przyjmując za n:

Interwał n
oktawa 2
kwinta 3
kwarta 4
sekunda 9

Czym jest skala?

Skalą muzyczną nazywamy kolekcję dźwięków, która tworzy dany utwór muzyczny. Dźwięki dobiera się, bazując na interwałach mniejszych niż oktawa, ze względu na ten fakt, że kiedy zagramy dźwięk o częstotliwości dwukrotnie wyższej (oktawa), będzie on brzmiał bardzo podobnie. Funkcjonują skale o różnej liczbie dźwięków, np. archaiczne skale pentatoniczne (5 dźwięków), całotonowe (6 dźwięków — zwanych całymi tonami), diatoniczne (7 dźwięków), chromatyczne (12 dźwięków — zwanych półtonami), i wiele innych. Najbardziej pierwotne formy muzyki wykorzystywały skale o znacznie mniej licznym zasobie dźwięków (2, 3 lub 4 dźwięki), a nawet śpiewano unisono (tylko jeden dźwięk). Skala ćwierćtonowa zaś będzie składała się z 24 dźwięków (ćwierćtonów). Oczywiście odcinek częstotliwości w zakresie oktawy można sobie dowolnie dzielić, na przykład na równe sekcje (np. 17 odcinków, 19, 48, etc.), a potem wybrać niektóre z punktów podziału, aby zasiliły zbiór dźwięków skali; można także dzielić nierówno. Kreatywność człowieka nie zna granic.

Zróbmy sobie skalę

Pora zabrać się do pracy. Wykorzystajmy niniejszym powyższe wiadomości i zróbmy sobie skalę.

Skala jednostopniowa

Aby nie komplikować sytuacji, zacznijmy od sytuacji najprostszej — niech pierwsza skala ma tylko jeden dźwięk. Nazwijmy go α (alfa) i niech ma częstotliwość równą fα (na razie nie jest istotne, jaka jest wartość absolutna częstotliwości mierzona w hercach):

fα = freq (α)

Przyjmijmy także, że w indeksie dolnym oznaczymy numer porządkowy oktawy (poczynając od 0, dodatnie wartości — oktawy wyższe, ujemne wartości — oktawy niższe):

α0 = α
fα0 = fα

Przyjmijmy stosunek częstotliwości qpri dla unisonów równy jeden:

qpri = 1 ÷ 1 = 1

Taki interwał nazwiemy prymą.

Obliczmy stosunek częstotliwości qoct dla dźwięków różniących się o oktawę:

n = 2
qoct = n ÷ (n - 1) = 2 ÷ (2 - 1) = 2 ÷ 1 = 2

Dźwięk o oktawę wyższy od α0 to α1. Jego częstotliwość wynosi:

fα1 = fα × qoct = fα × 2 = 2 fα

Dźwięk o dwie oktawy wyższy od α0 to α2. Jego częstotliwość wynosi:

fα2 = fα × qoct2 = fα × 22 = 4 fα

Dźwięk o oktawę niższy od α0 to α-1. Jego częstotliwość wynosi:

fα-1 = fα × qoct-1 = fα × 2-1 = 0,5 fα

Dźwięk o dwie oktawy niższy od α0 to α-2. Jego częstotliwość wynosi:

fα-2 = fα × qoct-2 = fα × 2-2 = 0,25 fα

Skala taka posiada następujące dźwięki:

Dźwięk Interwał względem α fi ÷ fα Interwał względem Ω fΩ ÷ fi Interwał względem poprzedniego fi ÷ fi-1
α pryma 1 ÷ 1 oktawa 2 ÷ 1 — —
Ω oktawa 2 ÷ 1 pryma 1 ÷ 1 oktawa 2 ÷ 1

(niech Ω oznacza po prostu dźwięk α w następnej oktawie)

Skala taka posiada następujące interwały:

Interwał Stopnie skali q Iloraz q Wartość q
pryma α – α qpri 1 ÷ 1 1
oktawa α – Ω qoct 2 ÷ 1 2

Tabela częstotliwości

Aby dobrać częstotliwości, trzeba po pierwsze odpowiedzieć sobie na pytanie, jaka jest rozpiętość zakresu dźwięków słyszalnych przez ucho ludzkie (16 Hz – 20 000 Hz) w oktawach.

⌊log2(20 000 ÷ 16)⌋ = ⌊log2(1 250)⌋ = ⌊10,288⌋ = 10

Jak policzyliśmy, możemy usłyszeć zakres dziesięciu oktaw. Iloraz częstotliwości między skrajnymi wartościami wyniesie:

q = 210 = 1 024

Przyjmijmy za dolną częstotliwość najniższą częstotliwość, jaką może usłyszeć ucho ludzkie (16 Hz). Wtedy ten sam dźwięk wyższy o 10 oktaw będzie miał częstotliwość:

16 [Hz] × 1 024 = 16 384 [Hz]

Obliczmy najniższą częstotliwość w inny sposób, tym razem wychodząc od górnego zakresu słyszalnych częstotliwości (20 000 Hz). Wtedy ten sam dźwięk niższy o 10 oktaw będzie miał częstotliwość:

20 000 [Hz] ÷ 1 024 = 19,53125 [Hz]

(zaokrąglamy tę wartość do 20 Hz)

Przyjmijmy w przybliżeniu, że nasz najniższy dźwięk fmin może zawierać się w zakresie od 16 Hz do 20 Hz. Załóżmy, że:

  • poszukujemy liczby całkowitej,
  • odrzucamy wartości skrajne,
  • inspirujemy się zasadą “złotego środka”,
  • szukamy liczby, która ma w rozkładzie na czynniki pierwsze jak najwięcej liczb pierwszych 2 i 3.

fmin = (16 [Hz] + 20 [Hz]) ÷ 2 = 36 [Hz] ÷ 2 = 18 [Hz] = 2 × 32 [Hz]

Częstotliwość dźwięku o 10 oktaw wyższego wyniesie:

fmax = 18 [Hz] × 1 024 = 18 432 [Hz]

Zakres zatem wynosi:

fmin = fα-4 = 18 [Hz]
fmax = fΩ5 = 18 432 [Hz]

(z wartością środkową fΩ0 = fΩ = 576 [Hz])

i fαi = [Hz] fΩi = [Hz]
-4 fα-4 = 18 fΩ-4 = 36
-3 fα-3 = 36 fΩ-3 = 72
-2 fα-2 = 72 fΩ-2 = 144
-1 fα-1 = 144 fΩ-1 = 288
0 fα0 = 288 fΩ0 = 576
1 fα1 = 576 fΩ1 = 1 152
2 fα2 = 1 152 fΩ2 = 2 304
3 fα3 = 2 304 fΩ3 = 4 608
4 fα4 = 4 608 fΩ4 = 9 216
5 fα5 = 9 216 fΩ5 = 18 432

Zbudujmy tabelę częstotliwości w oparciu o 18 Hz:

Nr oktawy α Ω
1 ÷ 1 2 ÷ 1
-4 18 36
-3 36 72
-2 72 144
-1 144 288
0 288 576
1 576 1 152
2 1 152 2 304
3 2 304 4 608
4 4 608 9 216
5 9 216 18 432

Skala dwustopniowa

Wygenerowana przez nas skala co prawda brzmi bardzo dobrze, ale nie grzeszy różnorodnością, warto byłoby zatem urozmaicić ją o kolejny dźwięk. Nazwijmy go ε. Aby harmonijnie współbrzmiał z α, ustalmy współczynnik ilorazu częstotliwości qqui w następujący sposób:

n = 3
qqui = n ÷ (n - 1) = 3 ÷ (3 - 1) = 3 ÷ 2 = 1,5

Obliczmy częstotliwość:

fε = fα × qqui = fα × 1,5 = 1,5 fα

Interwał pomiędzy α a ε nazywamy kwintą.

Zauważmy, że możemy też obliczyć iloraz częstotliwości qqua pomiędzy ε a Ω:

qqua = fΩ ÷ fε = (qoct × fα) ÷ (q qui × fα) = qoct ÷ qqui = 2 ÷ (3 ÷ 2) = 2 × (2 ÷ 3) = 4 ÷ 3

Zaskakujące, że iloraz 4 ÷ 3 pasuje do szeregu q = (n ÷ (n - 1)) dla n = 4.

Oto dowód:

Wyprowadźmy wzór na n, mając jako daną q:

q = (n ÷ (n - 1))
n = q × (n - 1)
n = q × n - q
n - q × n = (- q)
n × (1 - q) = (- q)
n = (- q) ÷ (1 - q)
n = (- q) ÷ (-(q - 1))
n = q ÷ (q - 1)

Podstawmy teraz pod q = qqua = 4 ÷ 3:

n = (4 ÷ 3) ÷ ((4 ÷ 3) - 1) = (4 ÷ 3) ÷ ((4 ÷ 3) - (3 ÷ 3)) = (4 ÷ 3) ÷ ((1 ÷ 3) = (4 ÷ 3) × ((3 ÷ 1)) = 4
n = 4

Interwał pomiędzy ε a Ω nazywamy kwartą.

Oktawa składa się w konsekwencji z kwinty i kwarty. Dla sprawdzenia:

qqui × qqua = (3 × 2) × (4 × 3) = (1 × 2) × (4 × 1) = (1 × 1) × (2 × 1) = (2 × 1) = 2 = qoct

Skala taka posiada następujące dźwięki:

Dźwięk Interwał względem α fi ÷ fα Interwał względem Ω fΩ ÷ fi Interwał względem poprzedniego fi ÷ fi-1
α pryma 1 ÷ 1 oktawa 2 ÷ 1 — —
ε kwinta 3 ÷ 2 kwarta 4 ÷ 3 kwinta 3 ÷ 2
Ω oktawa 2 ÷ 1 pryma 1 ÷ 1 kwarta 4 ÷ 3

Skala taka posiada następujące interwały:

Interwał Stopnie skali q Iloraz q Wartość q
pryma α – α qpri 1 ÷ 1 1
kwarta ε – Ω qqua 4 ÷ 3 1,(3)
kwinta α – ε qqui 3 ÷ 2 1,5
oktawa α – Ω qoct 2 ÷ 1 2

Tabela częstotliwości

Nr oktawy α ε Ω
1 ÷ 1 3 ÷ 2 2 ÷ 1
-4 18 27 36
-3 36 54 72
-2 72 108 144
-1 144 216 288
0 288 432 576
1 576 864 1 152
2 1 152 1 728 2 304
3 2 304 3 456 4 608
4 4 608 6 912 9 216
5 9 216 13 824 18 432

Skala trójstopniowa

Skala dwustopniowa brzmi o wiele lepiej, idąc więc za ciosem, poszerzmy ją o kolejny dźwięk: δ. Tym razem przyjmijmy, że oddalimy się od α o kwartę. Przypomnijmy, jak obliczyć współczynnik ilorazu częstotliwości qqua:

n = 4
qqua = n ÷ (n - 1) = 4 ÷ (4 - 1) = 4 ÷ 3 = 1,(3)

Obliczmy częstotliwość:

fδ = fα × qqua = fα × 1,(3) = 1,(3) fα

Interwał pomiędzy α a δ nazywamy kwartą.

Skala trzystopniowa generuje nam kolejny interwał pomiędzy dźwiękami δ a ε — sekundę. Obliczmy iloraz qsec:

qsec = fε ÷ fδ = (qqui × fα) ÷ (qqua × fα) = qqui ÷ qqua = (3 ÷ 2) ÷ (4 ÷ 3) = (3 ÷ 2) × (3 ÷ 4)) = 9 ÷ 8 = 1,125

Iloraz 9 ÷ 8 pasuje również do szeregu q = (n ÷ (n - 1)) dla n = 9:

n = q ÷ (q - 1)

Podstawmy teraz pod q = qsec = 9 ÷ 8:

n = (9 ÷ 8) ÷ ((9 ÷ 8) - 1) = (9 ÷ 8) ÷ ((9 ÷ 8) - (8 ÷ 8)) = (9 ÷ 8) ÷ ((1 ÷ 8) = (9 ÷ 8) × ((8 ÷ 1)) = 9
n = 9

Oktawa składa się w konsekwencji z kwarty, sekundy i kolejnej kwarty. Dla sprawdzenia:

qqua × qsec × qqua = (4 ÷ 3) × (9 ÷ 8) × (4 ÷ 3) = (16 ÷ 9) × (9 ÷ 8) = (2 ÷ 9) × (9 ÷ 1) = (2 ÷ 1) × (1 ÷ 1) = 2 × 1 = 2 = qoct

Kolejny interwał możliwy do wyprowadzenia zawiera się pomiędzy dźwiękami ε a δ+1 — septyma. Obliczmy iloraz qsep:

qsep = fδ+1 ÷ fε = (qoct × qqua × f α) ÷ (qqui × fα) = (qoct × qqua) ÷ qqui = (2 × ( 4 ÷ 3)) ÷ (3 ÷ 2) = (8 ÷ 3) ÷ (3 ÷ 2) = (8 ÷ 3) × (2 ÷ 3) = 16 ÷ 9 = 1,(7)

Skala taka posiada następujące dźwięki:

Dźwięk Interwał względem α fi ÷ fα Interwał względem Ω fΩ ÷ fi Interwał względem poprzedniego fi ÷ fi-1
α pryma 1 ÷ 1 oktawa 2 ÷ 1 — —
δ kwarta 4 ÷ 3 kwinta 3 ÷ 2 kwarta 4 ÷ 3
ε kwinta 3 ÷ 2 kwarta 4 ÷ 3 sekunda 9 ÷ 8
Ω oktawa 2 ÷ 1 pryma 1 ÷ 1 kwarta 4 ÷ 3

Skala taka posiada następujące interwały:

Interwał Stopnie skali q Iloraz q Wartość q
pryma α – α qpri 1 ÷ 1 1
sekunda δ – ε qsec 9 ÷ 8 1,125
kwarta ε – Ω qqua 4 ÷ 3 1,(3)
kwinta α – ε qqui 3 ÷ 2 1,5
septyma ε – δ+1 qsep 16 ÷ 9 1,(7)
oktawa α – Ω qoct 2 ÷ 1 2

Tabela częstotliwości

Nr oktawy α δ ε Ω
1 ÷ 1 4 ÷ 3 3 ÷ 2 2 ÷ 1
-4 18 24 27 36
-3 36 48 54 72
-2 72 96 108 144
-1 144 192 216 288
0 288 384 432 576
1 576 768 864 1 152
2 1 152 1 536 1 728 2 304
3 2 304 3 072 3 456 4 608
4 4 608 6 144 6 912 9 216
5 9 216 12 288 13 824 18 432

Skala pięciostopniowa

Mając już jako podstawę skalę trójstopniową i zdefiniowane pojęcie sekundy, dodajmy kolejne dwa dźwięki, tworząc skalę pięciostopniową, zwaną pentatoniką: β oraz ζ.

Zauważmy, że oktawa została podzielona na dwie symetryczne kwarty, rozdzielone sekundą (całym tonem):

Odstęp Interwał
α – δ kwarta
δ – ε sekunda
ε – Ω kwarta

Podzielmy kwarty, wstawiając kolejny dźwięk oddalony o sekundę (cały ton) w prawo ku środkowi od początkowych stopni.

Dolna kwarta (α – δ):

fβ = fα × qsec = (9 ÷ 8) × fα

Górna kwarta (ε – Ω):

fζ = fε × qsec = fα × qqui × qsec = fα × (3 ÷ 2) × (9 ÷ 8) = (27 ÷ 16) × fα

Skala pięciostopniowa wprowadza kolejne interwały:

Interwał pomiędzy β – δ:

qter_m = fδ ÷ fβ = (qqua × fα) ÷ (qsec × fα) = qqua ÷ qsec = (4 ÷ 3) ÷ (9 ÷ 8) = (4 ÷ 3) × (8 ÷ 9)) = 32 ÷ 27 = 1,(185)

Interwał pomiędzy β – δ nazywamy tercją małą.

Interwał pomiędzy δ – ζ:

qter = fζ ÷ fδ = (qqui × qsec × fα) ÷ ( qqua × fα) = (qqui × qsec) ÷ qqua = ((3 ÷ 2) × (9 ÷ 8)) ÷ (4 ÷ 3) = (27 ÷ 16) × (3 ÷ 4)) = 81 ÷ 64 = 1,265625

Interwał pomiędzy δ – ζ nazywamy tercją.

Interwał pomiędzy ζ – δ+1:

qsex_m = fδ+1 ÷ fζ = (qoct × qqua × f α) ÷ (qqui × qsec × fα) = (qoct × qqua) ÷ ( qqui × qsec) = (2 × (4 ÷ 3)) ÷ ((3 ÷ 2) × (9 ÷ 8)) = (8 ÷ 3) ÷ (27 ÷ 16) =
= (8 ÷ 3) × (16 ÷ 27) = 128 × 81 = 1,580246914

Interwał pomiędzy ζ – δ+1 nazywamy sekstą małą.

Interwał pomiędzy α – ζ:

qsex = fζ ÷ fα = (qqui × qsec × fα) ÷ fα = qqui × qsec = (3 ÷ 2) × (9 ÷ 8) = 27 ÷ 16 = 1,6875

Interwał pomiędzy α – ζ nazywamy sekstą.

Kwarta składa się w konsekwencji z sekundy i tercji małej. Dla sprawdzenia:

qsec × qter_m = (9 ÷ 8) × (32 ÷ 27) = (1 ÷ 8) × (32 ÷ 3) = (1 ÷ 1) × (4 × 3) = 4 × 3 = qqua

Skala taka posiada następujące dźwięki:

Dźwięk Interwał względem α fi ÷ fα Interwał względem Ω fΩ ÷ fi Interwał względem poprzedniego fi ÷ fi-1
α pryma 1 ÷ 1 oktawa 2 ÷ 1 — —
β sekunda 9 ÷ 8 septyma 16 ÷ 9 sekunda 9 ÷ 8
δ kwarta 4 ÷ 3 kwinta 3 ÷ 2 tercja mała 32 ÷ 27
ε kwinta 3 ÷ 2 kwarta 4 ÷ 3 sekunda 9 ÷ 8
ζ seksta 27 ÷ 16 tercja mała 32 ÷ 27 sekunda 9 ÷ 8
Ω oktawa 2 ÷ 1 pryma 1 ÷ 1 tercja mała 32 ÷ 27

Skala taka posiada następujące interwały:

Interwał Stopnie skali q Iloraz q Wartość q
pryma α – α qpri 1 ÷ 1 1
sekunda α – β qsec 9 ÷ 8 1,125
tercja mała β – δ qter_m 32 ÷ 27 1,(185)
tercja δ – ζ qter 81 ÷ 64 1,265625
kwarta α – δ qqua 4 ÷ 3 1,(3)
kwinta α – ε qqui 3 ÷ 2 1,5
seksta mała ζ – δ+1 qsex_m 128 ÷ 81 1,580246914
seksta α – ζ qsex 27 ÷ 16 1,6875
septyma β – Ω qsep 16 ÷ 9 1,(7)
oktawa α – Ω qoct 2 ÷ 1 2

Tabela częstotliwości

Nr oktawy α β δ ε ζ Ω
1 ÷ 1 9 ÷ 8 4 ÷ 3 3 ÷ 2 27 ÷ 16 2 ÷ 1
-4 18 20,25 24 27 30,375 36
-3 36 40,5 48 54 60,75 72
-2 72 81 96 108 121,5 144
-1 144 162 192 216 243 288
0 288 324 384 432 486 576
1 576 648 768 864 972 1 152
2 1 152 1 296 1 536 1 728 1 944 2 304
3 2 304 2 592 3 072 3 456 3 888 4 608
4 4 608 5 184 6 144 6 912 7 776 9 216
5 9 216 10 368 12 288 13 824 15 552 18 432

Skala siedmiostopniowa

Na bazie skali pięciostopniowej zbudujemy teraz skalę siedmiostopniową (diatoniczną), uzupełniając pentatonikę o dwa brakujące dźwięki: γ i η. Przypomnijmy, że oktawa została podzielona na dwie symetryczne kwarty (złożone z sekundy i tercji małej), rozdzielone sekundą (całym tonem):

Odstęp Interwał
α – β sekunda
β – δ tercja mała
δ – ε sekunda
ε – ζ sekunda
ζ – Ω tercja mała

Podzielmy tercje małe, wstawiając kolejny dźwięk oddalony o sekundę (cały ton) w lewo ku środkowi od końcowych stopni.

Dolna tercja mała (β – δ):

fγ = fδ ÷ qsec = (fα × qqua) ÷ qsec = ( fα × (4 ÷ 3)) ÷ (9 ÷ 8) = fα × (4 ÷ 3) × (8 ÷ 9) = (32 ÷ 27) × fα

Górna tercja mała (ζ – Ω):

fη = fΩ ÷ qsec = (fα × qoct) ÷ q sec = (fα × 2) ÷ (9 ÷ 8) = fα × 2 × (8 ÷ 9) = (16 ÷ 9) × fα

Skala siedmiostopniowa wygenerowała nam kolejny interwały:

Interwał pomiędzy β – γ lub ζ – η:

qβ-γ = fγ ÷ fβ = (qter_m × fα) ÷ (q sec × fα) = qter_m ÷ qsec = (32 ÷ 27) ÷ (9 ÷ 8) = (32 ÷ 27) × (8 ÷ 9) = 256 ÷ 243
qζ-η = fη ÷ fζ = (qqui × qter_m × f α) ÷ (qqui × qsec × fα) = (qqui × qter_m) ÷ ( qqui × qsec) = ((3 ÷ 2) × (32 ÷ 27)) ÷ ((3 ÷ 2) × (9 ÷ 8)) = (16 ÷ 9) ÷ (27 ÷ 16) =
= (16 ÷ 9) × (16 ÷ 27) = 256 ÷ 243

Nietrudno zauważyć, że interwały qβ-γ i qζ-η są równe, a iloraz częstotliwości q wynosi 256 ÷ 243.

qsec_m = qβ-γ = qζ-η = 256 ÷ 243 = 1,053497942

Taki interwał nazywa się sekundą małą.

Interwał pomiędzy γ – ζ:

qqua_aug = fζ ÷ fγ = (qqui × qsec × fα) ÷ ( qter_m × fα) = (qqui × qsec) ÷ qter_m = ((3 ÷ 2) × (9 ÷ 8)) ÷ (32 ÷ 27) = (27 ÷ 16) ÷ (32 ÷ 27) = (27 ÷ 16) × (27 ÷ 32) =
= 729 ÷ 512 = 1,423828125

Interwał pomiędzy γ – ζ nazywamy kwartą zwiększoną.

Interwał pomiędzy ζ – γ+1:

qqui_dim = fγ+1 ÷ fζ = (qoct × qter_m × fα) ÷ (qsex × fα) = (qoct × qter_m) ÷ qsex = (2 × (32 ÷ 27 )) ÷ (27 ÷ 16) = (64 ÷ 27) ÷ (27 ÷ 16) = (64 ÷ 27) × (16 ÷ 27) =
= 1024 ÷ 729 = 1,404663923

Interwał pomiędzy ζ – γ+1 nazywamy kwintą zmniejszoną.

Interwał pomiędzy γ – β+1:

qsep_M = fβ+1 ÷ fγ = (qoct × qsec × fα) ÷ (qter_m × fα) = (qoct × qsec) ÷ q ter_m = (2 × (9 × 8)) ÷ (32 ÷ 27) = (18 × 8) ÷ (32 ÷ 27) = (18 × 8) × (27 ÷ 32) =
= (9 × 4) × (27 ÷ 32) = 243 ÷ 128 = 1,8984375

Interwał pomiędzy γ – β+1 nazywamy septymą wielką.

Kwarta składa się w konsekwencji z sekundy, sekundy małej oraz kolejnej sekundy. Dla sprawdzenia:

qsec × qsec_m × qsec = (9 ÷ 8) × (256 ÷ 243) × (9 ÷ 8) = (81 ÷ 64) × (256 ÷ 243) = (1 ÷ 64) × (256 × 3) = (1 ÷ 1) × (4 × 3) = 4 × 3 = qqua

Skala taka posiada następujące dźwięki:

Dźwięk Interwał względem α fi ÷ fα Interwał względem Ω fΩ ÷ fi Interwał względem poprzedniego fi ÷ fi-1
α pryma 1 ÷ 1 oktawa 2 ÷ 1 — —
β sekunda 9 ÷ 8 septyma 16 ÷ 9 sekunda 9 ÷ 8
γ tercja mała 32 ÷ 27 seksta 27 ÷ 16 sekunda mała 256 ÷ 243
δ kwarta 4 ÷ 3 kwinta 3 ÷ 2 sekunda 9 ÷ 8
ε kwinta 3 ÷ 2 kwarta 4 ÷ 3 sekunda 9 ÷ 8
ζ seksta 27 ÷ 16 tercja mała 32 ÷ 27 sekunda 9 ÷ 8
η septyma 16 ÷ 9 sekunda 9 ÷ 8 sekunda mała 256 ÷ 243
Ω oktawa 2 ÷ 1 pryma 1 ÷ 1 sekunda 9 ÷ 8

Skala taka posiada następujące interwały:

Interwał Stopnie skali q Iloraz q Wartość q
pryma α – α qpri 1 ÷ 1 1
sekunda mała β – γ qsec_m 256 ÷ 243 1,053497942
sekunda α – β qsec 9 ÷ 8 1,125
tercja mała α – γ qter_m 32 ÷ 27 1,(185)
tercja γ – ε qter 81 ÷ 64 1,265625
kwarta α – δ qqua 4 ÷ 3 1,(3)
kwinta zmniejszona ζ – γ+1 qqui_dim 1024 ÷ 729 1,404663923
kwarta zwiększona γ – ζ qqua_aug 729 ÷ 512 1,423828125
kwinta α – ε qqui 3 ÷ 2 1,5
seksta mała β – η qsex_m 128 ÷ 81 1,580246914
seksta α – ζ qsex 27 ÷ 16 1,6875
septyma α – η qsep 16 ÷ 9 1,(7)
septyma wielka γ – β+1 qsep_M 243 ÷ 128 1,8984375
oktawa α – Ω qoct 2 ÷ 1 2

Tabela częstotliwości

Nr oktawy α β γ δ ε ζ η Ω
1 ÷ 1 9 ÷ 8 32 ÷ 27 4 ÷ 3 3 ÷ 2 27 ÷ 16 16 ÷ 9 2 ÷ 1
-4 18 20,25 21,(3) 24 27 30,375 32 36
-3 36 40,5 42,(6) 48 54 60,75 64 72
-2 72 81 85,(3) 96 108 121,5 128 144
-1 144 162 170,(6) 192 216 243 256 288
0 288 324 341,(3) 384 432 486 512 576
1 576 648 682,(6) 768 864 972 1 024 1 152
2 1 152 1 296 1 365,(3) 1 536 1 728 1 944 2 048 2 304
3 2 304 2 592 2 730,(6) 3 072 3 456 3 888 4 096 4 608
4 4 608 5 184 5 461,(3) 6 144 6 912 7 776 8 192 9 216
5 9 216 10 368 10 922,(6) 12 288 13 824 15 552 16 384 18 432

W ten sposób skonstruowana skala ma szereg ciekawych właściwości:

  • jest skalą diatoniczną, ponieważ posiada 7 różnych dźwięków,
  • czwarty stopień skali (IV) dzieli oktawę na kwartę i kwintę,
  • piąty stopień skali (V) dzieli oktawę na kwintę i kwartę,
  • pomiędzy stopniami IV a V zawiera się sekunda (różnica całego tonu),
  • stopnie I-IV budują tetrachord [W-H-W] o długości kwarty,
  • stopnie V-I+1 budują tetrachord [W-H-W] o długości kwarty,
  • tetrachordy są identyczne (co do wielkości i konstrukcji),
  • tetrachordy są symetryczne (półton pomiędzy całymi tonami),
  • tetrachordy są oddzielone całym tonem [W],
  • cała skala jest symetryczna pod względem długości tetrachordów: [2W + H] + W + [2W + H],
  • cała skala jest symetryczna pod względem kształtu tetrachordów: [W-H-W] = [W-H-W],
  • cała skala jest symetryczna w ogólności: [W-H-W]-W-[W-H-W],
  • akord toniczny (oparty o stopnie I–III–V) jest akordem molowym: tercja mała + tercja wielka = kwinta.

Z tego powodu skalę tę nazwijmy na potrzeby tego opracowania skalą diatoniczną α. Będziemy ją uważać za wyjściową dla dalszego konstruowania skal diatonicznych.

Skale diatoniczne

Nazwy dźwięków

Przesunięcie względem α
skali diatonicznej α
(-3 … +3)		 Stopień
skali diatonicznej α
(α-η)		 Nazwa dźwięku
(A-G)
-3 ε-1 A
-2 ζ-1 B
-1 η-1 C
0 α D
+1 β E
+2 γ F
+3 δ G

Skala A

Skala nazywana eolską, tożsama ze współczesną skalą molową. W muzyce kościelnej nazywana skalą hipodorycką kościelną (modus 2), będącą plagalnym odpowiednikiem skali doryckiej kościelnej (modus 1).

Od okresu renesansu traktowana jako skala eolska kościelna (modus 9).

Właściwości:

  • czwarty stopień skali (IV) dzieli oktawę na kwartę i kwintę,
  • piąty stopień skali (V) dzieli oktawę na kwintę i kwartę,
  • pomiędzy stopniami IV a V zawiera się sekunda (różnica całego tonu),
  • stopnie I-IV budują tetrachord [W-H-W] o długości kwarty,
  • stopnie V-I+1 budują tetrachord [H-W-W] o długości kwarty,
  • tetrachordy są identycznej wielkości, lecz inaczej zbudowane,
  • tetrachordy są oddzielone całym tonem [W],
  • cała skala jest symetryczna pod względem długości tetrachordów: [2W + H] + W + [2W + H],
  • cała skala nie jest symetryczna pod względem kształtu tetrachordów: [W-H-W] ≠ [H-W-W],
  • skala jest wariantem skali opartej o dźwięk D (doryckiej), w której obniżono o pół tonu VI stopień,
  • akord toniczny (oparty o stopnie I–III–V) jest akordem molowym: tercja mała + tercja wielka = kwinta.
A B C D E F G A+1
— ton półton ton ton półton ton ton

Skala B

Skala nazywana lokrycką. W muzyce kościelnej nazywana skalą hipofrygijską kościelną (modus 4), będącą plagalnym odpowiednikiem skali frygijskiej kościelnej (modus 3). Nieużywana jako skala autentyczna ze względu na obecność trytonu pomiędzy stopniami I-V.

Właściwości:

  • czwarty stopień skali (IV) dzieli oktawę na kwartę i kwintę,
  • piąty stopień skali (V) dzieli oktawę na kwintę zmniejszoną i kwartę zwiększoną (dwa trytony),
  • pomiędzy stopniami IV a V zawiera się sekunda mała (różnica połowy tonu),
  • stopnie I-IV budują tetrachord [H-W-W] o długości kwarty,
  • stopnie V-I+1 budują tetrachord [W-W-W] o długości kwarty zwiększonej (trytonu),
  • tetrachordy są różnej wielkości oraz inaczej zbudowane,
  • tetrachordy są oddzielone połową tonu [H],
  • cała skala nie jest symetryczna pod względem długości tetrachordów: [2W + H] + H + [3W],
  • akord toniczny (oparty o stopnie I–III–V) jest akordem zmniejszonym: tercja mała + tercja mała = kwinta zmniejszona ( tryton).
B C D E F G A B+1
— półton ton ton półton ton ton ton

Skala C

Skala nazywana jońską, tożsama ze współczesną skalą durową. W muzyce kościelnej nazywana skalą hipolidyjską kościelną (modus 6), będącą plagalnym odpowiednikiem skali lidyjskiej kościelnej (modus 5).

Od okresu renesansu traktowana jako skala jońska kościelna (modus 11).

Właściwości:

  • czwarty stopień skali (IV) dzieli oktawę na kwartę i kwintę,
  • piąty stopień skali (V) dzieli oktawę na kwintę i kwartę,
  • pomiędzy stopniami IV a V zawiera się sekunda (różnica całego tonu),
  • stopnie I-IV budują tetrachord [W-W-H] o długości kwarty,
  • stopnie V-I+1 budują tetrachord [W-W-H] o długości kwarty,
  • tetrachordy są identyczne (co do wielkości i konstrukcji),
  • tetrachordy są oddzielone całym tonem [W],
  • cała skala jest symetryczna pod względem długości tetrachordów: [2W + H] + W + [2W + H],
  • cała skala jest symetryczna pod względem kształtu tetrachordów: [W-W-H] = [W-W-H],
  • cała skala nie jest symetryczna w ogólności: [W-W-H]-W-[W-W-H],
  • skala jest wariantem skali opartej o dźwięk G (miksolidyjskiej), w której podwyższono o pół tonu VII stopień,
  • akord toniczny (oparty o stopnie I–III–V) jest akordem durowym: tercja wielka + tercja mała = kwinta.
C D E F G A B C+1
— ton ton półton ton ton ton półton

Skala D

Skala nazywana dorycką. W muzyce kościelnej stanowi odpowiednik skal doryckiej kościelnej (modus 1) oraz hipomiksolidyjskiej kościelnej (modus 8), będącej plagalnym odpowiednikiem skali miksolidyjskiej kościelnej (modus 7).

Właściwości:

  • czwarty stopień skali (IV) dzieli oktawę na kwartę i kwintę,
  • piąty stopień skali (V) dzieli oktawę na kwintę i kwartę,
  • pomiędzy stopniami IV a V zawiera się sekunda (różnica całego tonu),
  • stopnie I-IV budują tetrachord [W-H-W] o długości kwarty,
  • stopnie V-I+1 budują tetrachord [W-H-W] o długości kwarty,
  • tetrachordy są identyczne (co do wielkości i konstrukcji),
  • tetrachordy są symetryczne (półton pomiędzy całymi tonami),
  • tetrachordy są oddzielone całym tonem [W],
  • cała skala jest symetryczna pod względem długości tetrachordów: [2W + H] + W + [2W + H],
  • cała skala jest symetryczna pod względem kształtu tetrachordów: [W-H-W] = [W-H-W],
  • cała skala jest symetryczna w ogólności: [W-H-W]-W-[W-H-W],
  • akord toniczny (oparty o stopnie I–III–V) jest akordem molowym: tercja mała + tercja wielka = kwinta.
D E F G A B C D+1
— ton półton ton ton ton półton ton

Skala E

Skala nazywana frygijską. W muzyce kościelnej stanowi odpowiednik skal frygijskiej kościelnej (modus 3).

Właściwości:

  • czwarty stopień skali (IV) dzieli oktawę na kwartę i kwintę,
  • piąty stopień skali (V) dzieli oktawę na kwintę i kwartę,
  • pomiędzy stopniami IV a V zawiera się sekunda (różnica całego tonu),
  • stopnie I-IV budują tetrachord [H-W-W] o długości kwarty,
  • stopnie V-I+1 budują tetrachord [H-W-W] o długości kwarty,
  • tetrachordy są identyczne (co do wielkości i konstrukcji),
  • tetrachordy są oddzielone całym tonem [W],
  • cała skala jest symetryczna pod względem długości tetrachordów: [2W + H] + W + [2W + H],
  • cała skala jest symetryczna pod względem kształtu tetrachordów: [H-W-W] = [H-W-W],
  • cała skala nie jest symetryczna w ogólności: [H-W-W]-W-[H-W-W],
  • akord toniczny (oparty o stopnie I–III–V) jest akordem molowym: tercja mała + tercja wielka = kwinta.
E F G A B C D E+1
— półton ton ton ton półton ton ton

Skala F

Skala nazywana lidyjską. W muzyce kościelnej stanowi odpowiednik skal lidyjskiej kościelnej (modus 5).

Właściwości:

  • czwarty stopień skali (IV) dzieli oktawę na kwartę zwiększoną i kwintę zmniejszoną (dwa trytony),
  • piąty stopień skali (V) dzieli oktawę na kwintę i kwartę,
  • pomiędzy stopniami IV a V zawiera się sekunda mała (różnica połowy tonu),
  • stopnie I-IV budują tetrachord [W-W-W] o długości kwarty zwiększonej,
  • stopnie V-I+1 budują tetrachord [W-W-H] o długości kwarty,
  • tetrachordy są różnej wielkości oraz inaczej zbudowane,
  • tetrachordy są oddzielone połową tonu [H],
  • cała skala nie jest symetryczna pod względem długości tetrachordów: [3W] + H + [2W + H],
  • akord toniczny (oparty o stopnie I–III–V) jest akordem durowym: tercja wielka + tercja mała = kwinta.
F G A B C D E F+1
— ton ton ton półton ton ton półton

Skala G

Skala nazywana miksolidyjską. W muzyce kościelnej stanowi odpowiednik skal miksolidyjskiej kościelnej (modus 7).

Właściwości:

  • czwarty stopień skali (IV) dzieli oktawę na kwartę i kwintę,
  • piąty stopień skali (V) dzieli oktawę na kwintę i kwartę,
  • pomiędzy stopniami IV a V zawiera się sekunda (różnica całego tonu),
  • stopnie I-IV budują tetrachord [W-W-H] o długości kwarty,
  • stopnie V-I+1 budują tetrachord [W-H-W] o długości kwarty,
  • tetrachordy są identycznej wielkości, lecz inaczej zbudowane,
  • tetrachordy są oddzielone całym tonem [W],
  • cała skala jest symetryczna pod względem długości tetrachordów: [2W + H] + W + [2W + H],
  • cała skala nie jest symetryczna pod względem kształtu tetrachordów: [W-W-H] ≠ [W-H-W],
  • akord toniczny (oparty o stopnie I–III–V) jest akordem durowym: tercja wielka + tercja mała = kwinta.
G A B C D E F G+1
— ton ton półton ton ton półton ton

Skale starogreckie

Starogreckie skale diatoniczne używały pierwotnego nazewnictwa, które różniło się od obecnie stosowanego. Podstawą konstrukcji był kształt tetrachordu. Wyróżniano:

  • lidyjski — zbudowany z dźwięków C-D-E-F — interwały [W-W-H],
  • frygijski — zbudowany z dźwięków D-E-F-G — interwały [W-H-W],
  • dorycki — zbudowany z dźwięków E-F-G-A — interwały [H-W-W].

Aby pokryć pozostałe stopnie skali, w użyciu były poniższe przedrostki:

  • hiper- — skala przesunięta o kwintę wyżej (kwartę niżej) w stosunku do podstawowej,
  • hipo- — skala przesunięta o kwintę niżej (kwartę wyżej) w stosunku do podstawowej.

Warto zauważyć, że przesunięcie o kwintę wyżej zachowywało rodzaj tetrachordu, o kwintę niżej powodowało zaś, że nazwa nie odpowiadała już jego rodzajowi.

Tetrachord Interwały Dźwięk
(tetrachord niższy)		 Skala starogrecka Dźwięk
(tetrachord wyższy)		 Skala starogrecka
(hiper-)		 Alternatywne nazwy
lidyjski [W-W-H] C lidyjska G hiperlidyjska hipofrygijska, jońska
frygijski [W-H-W] D frygijska A hiperfrygijska hipodorycka, eolska, lokrycka
dorycki [H-W-W] E dorycka B hiperdorycka miksolidyjska

Tabela listująca skale starogreckie prezentuje się tak:

Skala diatoniczna
starogrecka		 Dźwięk początkowy Tetrachord Alternatywna nazwa
starogrecka		 Skala diatoniczna
współczesna
hiperlidyjska G-1 lidyjski [W-W-H] (jońska) (miksolidyjska)
hiperfrygijska A frygijski [W-H-W] eolska, lokrycka eolska
hiperdorycka B dorycki [H-W-W] miksolidyjska lokrycka
lidyjska C lidyjski [W-W-H] — jońska
frygijska D frygijski [W-H-W] — dorycka
dorycka E dorycki [H-W-W] — frygijska
hipolidyjska F 1 — lidyjska
hipofrygijska G lidyjski [W-W-H] jońska miksolidyjska
hipodorycka A+1 frygijski [W-H-W] (eolska, lokrycka) (eolska)

1 Skala hipolidyjska wyróżniała się w ten sposób, że jej początkowy tetrachord tworzył kwartę zwiększoną (tryton), składając się z trzech całych tonów [W-W-W] (dźwięki F-G-A-B) i niemożliwe było jej zakwalifikowanie do powyżej zedfiniowanych kategorii.

A B C D E F G
Skala starogrecka eolska, lokrycka miksolidyjska lidyjska frygijska dorycka (hipolidyjska) jońska
Skala współczesna eolska lokrycka jońska dorycka frygijska lidyjska miksolidyjska

Skale kościelne

W muzyce kościelnej używane są cztery skale, zbudowane odpowiednio na dźwiękach D, E, F i G:

  • dorycka,
  • frygijska,
  • lidyjska,
  • miksolidyjska.

Każda ze skal występuje w dwóch wariantach:

  • skala autentyczna — skala podstawowa,
  • skala plagalna (przedrostek hipo-) — skala obniżona o kwartę względem autentycznego odpowiednika.
Nazwa skali Dźwięk początkowy Modus kościelny Akord toniczny Górny tetrachord Dźwięki Alternatywna nazwa
hipodorycka A 2 [W-H-W-W] [H-W-W] [A-B-C-D-E]-[E-F-G-A] eolska
hipofrygijska B 4 [H-W-W-H] [W-W-W] [B-C-D-E-F]-[F-G-A-B] lokrycka
hipolidyjska C 6 [W-W-H-W] [W-W-H] [C-D-E-F-G]-[G-A-B-C] jońska
dorycka, hipomiksolidyjska D 1, 8 [W-H-W-W] [W-H-W] [D-E-F-G-A]-[A-B-C-D] —
frygijska E 3 [H-W-W-W] [H-W-W] [E-F-G-A-B]-[B-C-D-E] —
lidyjska F 5 [W-W-W-H] [W-W-H] [F-G-A-B-C]-[C-D-E-F] —
miksolidyjska G 7 [W-W-H-W] [W-H-W] [G-A-B-C-D]-[D-E-F-G] —

W okresie renesansu wydzielono kolejne dwie skale zbudowane odpowiednio na A i C, poprzednio traktowane jako warianty:

  • eolska,
  • jońska.
Nazwa skali Dźwięk początkowy Modus kościelny Akord toniczny Górny tetrachord Dźwięki Alternatywna nazwa
eolska A (9) [W-H-W-W] [H-W-W] [A-B-C-D-E]-[E-F-G-A] —
hipoeolska E (10) [H-W-W-W] [H-W-W] [E-F-G-A-B]-[B-C-D-E] frygijska
jońska C (11) [W-W-H-W] [W-W-H] [C-D-E-F-G]-[G-A-B-C] —
hipojońska G (12) [W-W-H-W] [W-H-W] [G-A-B-C-D]-[D-E-F-G] miksolidyjska

Skala lokrycka nie jest używana jako skala podstawowa, ze względu na fakt, że akordem tonicznym jest akord zmniejszony.

Nazwa skali Dźwięk początkowy Modus kościelny Akord toniczny Górny tetrachord Dźwięki Alternatywna nazwa
lokrycka B — [H-W-W-H] [W-W-W] [B-C-D-E-F]-[F-G-A-B] —
hipolokrycka F — [W-W-W-H] [W-W-H] [F-G-A-B-C]-[C-D-E-F] lidyjska

Skale współczesne

Współcześnie najczęściej wykorzystywane są skale molowa i durowa, zbudowane opdowiednio w oparciu o dźwięki A i C. Wydaje się, że głównym czynnikiem różnicującym jest opozycja dur-moll w akordzie tonicznym:

  • skala molowa — akord a-moll,
  • skala durowa — akord C-dur.
Nazwa skali Dźwięk początkowy Rodzaj akordu tonicznego Akord toniczny Górny tetrachord Nazwa akordu tonicznego
molowa A molowy [W-H-W-W] [H-W-W] Am
— B zmniejszony [H-W-W-H] [W-W-W] Bdim
durowa C durowy [W-W-H-W] [W-W-H] C

Podsumowanie

Dźwięk początkowy Stopień skali
centralnej		 Przesunięcie względem
skali centralnej		 Nazwa skali
diatonicznej		 Modus kościelny Skala współczesna
A V-1 -3 eolska 2, (9) molowa
B VI-1 -2 lokrycka 4 —
C VII-1 -1 jońska 6, (11) durowa
D I 0 dorycka 1, 8 —
E II +1 frygijska 3, (10) —
F III +2 lidyjska 5 —
G IV +3 miksolidyjska 7, (12) —
Dźwięk początkowy Akord toniczny Kwinta Kwarta Tercja
A m czysta czysta mała
B dim zmniejszona czysta mała
C M czysta czysta wielka
D m czysta czysta mała
E m czysta czysta mała
F M czysta zwiększona wielka
G M czysta czysta wielka
Dźwięk początkowy Interwały Akord toniczny Tetrachordy Dźwięki
A W-H-W-W-H-W-W [W-H-W-W] [W-H-W]-W-[H-W-W] [A-B-C-D-E]-[E-F-G-A]
B H-W-W-H-W-W-W [H-W-W-H] [H-W-W]-H-[W-W-W] [B-C-D-E-F]-[F-G-A-B]
C W-W-H-W-W-W-H [W-W-H-W] [W-W-H]-W-[W-W-H] [C-D-E-F-G]-[G-A-B-C]
D W-H-W-W-W-H-W [W-H-W-W] [W-H-W]-W-[W-H-W] [D-E-F-G-A]-[A-B-C-D]
E H-W-W-W-H-W-W [H-W-W-W] [H-W-W]-W-[H-W-W] [E-F-G-A-B]-[B-C-D-E]
F W-W-W-H-W-W-H [W-W-W-H] [W-W-W]-H-[W-W-H] [F-G-A-B-C]-[C-D-E-F]
G W-W-H-W-W-H-W [W-W-H-W] [W-W-H]-W-[W-H-W] [G-A-B-C-D]-[D-E-F-G]
Dźwięk
początkowy		 Symetryczna
skala		 Symetryczne
tetrachordy		 Symetryczna dł.
tetrachordów		 Pół tonu
pomiędzy		 Kwinta
zmniejszona		 Kwarta
zwiększona
A - - + - - -
B - - - + + -
C - + + - - -
D + + + - - -
E - + + - - -
F - - - + - +
G - - + - - -
Dźwięk początkowy Skala odwrócona Wariant
z obniżonym stopniem		 Obniżony stopień
A G E II
B F F I
C E G VII
D D A VI
E C B V
F B C IV
G A D III

Interwały:

Nazwa Interwał przeciwstawny Liczba tonów
i półtonów		 Stosunek q
pryma oktawa 0 1 ÷ 1
sekunda mała septyma wielka p 256 ÷ 243
sekunda septyma t 9 ÷ 8
tercja mała seksta t + p 32 ÷ 27
tercja seksta mała 2 t 81 ÷ 64
kwarta kwinta 2 t + p 4 ÷ 3
kwinta zmniejszona kwarta zwiększona 2 t + 2 p 1024 ÷ 729
kwarta zwiększona kwinta zmniejszona 3 t 729 ÷ 512
kwinta kwarta 3 t + p 3 ÷ 2
seksta mała tercja 3 t + 2 p 128 ÷ 81
seksta tercja mała 4 t + p 27 ÷ 16
septyma sekunda 4 t + 2 p 16 ÷ 9
septyma wielka sekunda mała 5 t + p 243 ÷ 128
oktawa pryma 5 t + 2 p 2 ÷ 1

Tabela częstotliwości:

Nr oktawy A B C D E F G
1 ÷ 1 9 ÷ 8 32 ÷ 27 4 ÷ 3 3 ÷ 2 128 ÷ 81 16 ÷ 9
-5 18 20,25 21,(3) 24
-4 27 30,375 32 36 40,5 42,(6) 48
-3 54 60,75 64 72 81 85,(3) 96
-2 108 121,5 128 144 162 170,(6) 192
-1 216 243 256 288 324 341,(3) 384
0 432 486 512 576 648 682,(6) 768
1 864 972 1 024 1 152 1 296 1 365,(3) 1 536
2 1 728 1 944 2 048 2 304 2 592 2 730,(6) 3 072
3 3 456 3 888 4 096 4 608 5 184 5 461,(3) 6 144
4 6 912 7 776 8 192 9 216 10 368 10 922,(6) 12 288
5 13 824 15 552 16 384 18 432
Nr oktawy A B C D E F G
1 ÷ 1 9 ÷ 8 32 ÷ 27 4 ÷ 3 3 ÷ 2 128 ÷ 81 16 ÷ 9
-5 2 × 32 2-2 × 34 26 × 3-1 23 × 3
-4 33 2-3 × 35 25 22 × 32 2-1 × 34 27 × 3-1 24 × 3
-3 2 × 33 2-2 × 35 26 23 × 32 34 28 × 3-1 25 × 3
-2 22 × 33 2-1 × 35 27 24 × 32 2 × 34 29 × 3-1 26 × 3
-1 23 × 33 35 28 25 × 32 22 × 34 210 × 3-1 27 × 3
0 24 × 33 2 × 35 29 26 × 32 23 × 34 211 × 3-1 28 × 3
1 25 × 33 22 × 35 210 27 × 32 24 × 34 212 × 3-1 29 × 3
2 26 × 33 23 × 35 211 28 × 32 25 × 34 213 × 3-1 210 × 3
3 27 × 33 24 × 35 212 29 × 32 26 × 34 214 × 3-1 211 × 3
4 28 × 33 25 × 35 213 210 × 32 27 × 34 215 × 3-1 212 × 3
5 29 × 33 26 × 35 214 211 × 32
Objaśnienia:
Skrót Definicja Uwagi
M akord durowy tercja wielka + tercja mała = kwinta
m akord molowy tercja mała + tercja wielka = kwinta
dim akord zmniejszony tercja mała + tercja mała = kwinta zmniejszona
H pół tonu
W cały ton